Question

（理）如图：已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2．
（1）求AD与平面ABC所成角的大小；
（2）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角，然后直接解直角三角形即可；
（2）设出点B到平面ACD的距离，直接利用等积法求距离．
解答：解：（1）如图，

因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，，
所以，
所以AD与平面ABC所成角的大小为45°；
（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得，，
则
=．

=．
由V_A-BCD=V_B-ACD，得，所以．
所以点B到平面ACD的距离为．
点评：本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．