Question

已知二次函数，y＝g(x)的图象过(0，0)，(m，0)(m＋1，m＋1)三点．

(1)求y＝g(x)的表达式；

(2)设f(x)＝(x－n)·g(x)，(m＞n＞0)且在x＝a和x＝b，(b＜a)处取到极值．①求证：0＜b＜n＜a＜m．②若m＋n＜，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线，能否互相垂直，给予证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设g(x)＝Ax(x－m)，过(m＋1，m＋1) 　　∴A＝1，则g(x)＝x(x－m) 　　(2)①f(x)＝(x－n)(x－m)·x＝x3－(m＋n)x2＋mn·x 　　＝3x2－2(m＋n)x＋m·n 　　又∵f(x)在x＝a，x＝b取极值 　　设＝3(x－a)(x－b) 　　＝3m2－2(m＋n)m＋mn＝m2－mn＝m(m－n)＞0 　　3(m－a)(m－b)＞0 　　a＜m或m＜b(舍) 　　同理＜0，3(n－a)(n－b)＜0，b＜n＜a 　　②x0＝0，x0＝ 　　k1＝mn，k2＝ 　　k1·k2＝－1 　　即mn＝－1，＝mn＋≥2 　　而实际＜＝2 　　∴不可能