题目内容
已知
=（x2+1，p+2），
=（3，x）．
（I）当p=8时，若
⊥
，求x的值．
（II）若存在唯一的实数x，使
+
与
=（1，2）平行，试求p的值．
| a |
| b |
（I）当p=8时，若
| a |
| b |
（II）若存在唯一的实数x，使
| a |
| b |
| c |
分析：（I）当p=8时，由
⊥
可得
•
=（x2+1，10）•（3，x）=3x2+3+10x=0，由此求得x的值．
（II）先求出
+
的坐标，再根据
+
与
=（1，2）平行得到 2x2-x+6-p=0，由判别式△=0求得x的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（II）先求出
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
解答：解：（I）当p=8时，由
⊥
可得
•
=（x2+1，10）•（3，x）=3x2+3+10x=0，即 （3x+1）（x+3）=0
解得 x=-3，或 x=-
．
（II）∵
+
=（x2+4，p+2+x），
=（1，2），由
+
与
=（1，2）平行可得2（x2+4）=p+2+x，即 2x2-x+6-p=0．
由题意可得 判别式△=1-8（6-p）=0，解得 p=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
解得 x=-3，或 x=-
| 1 |
| 3 |
（II）∵
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
由题意可得 判别式△=1-8（6-p）=0，解得 p=
| 47 |
| 8 |
点评：本题主要考查两个向量垂直、共线的性质，数量积公式的应用，属于中档题．
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