Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m=(2sin

A+C

2

，-1)，n=(2sin

A+C

2

，cos2B+

7

2

)，且m•n=0．
（I）求角B的大小；
（II）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且

BA

•

BC

=18，求b的值．

Answer 1

分析：（I）由   

m

•

n

=0及二倍角的余弦公式 求得cosB的值，即得B 的值．
（II） 由正弦定理 得到a+c=2b，利用余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

，化简得到它的值等于

1

2

，求得b²=ac，代入

BA

•

BC

=18求得 b 值．

解答：解：（I）∵

m

•

n

=4sin2

A+C

2

-2cos2B-

7

2

=4cos²B-4cosB+1=0，
∴cosB=

1

2

． 又  B∈（0，π），∴B=

π

3

．  
（II）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，由正弦定理可得  a+c=2b．
又 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

3b2-2ac

2ac

=

1

2

，
∴b²=ac． 又

BA

•

BC

=ac•cosB=

b2

2

=18，∴b=6．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，两个向量的数量积公式的定义，二倍角的余弦公式的应用，利用余弦定理是解题的难点．