题目内容
如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)证明:平面平面.
(I);(II)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(I)根据三视图等条件,求出棱锥底面积和高,可求体积;(II)在面PFC内找一直线平行AE即可证明∥平面;(III)证平面平面只需证明平面过平面的一条垂线即可.
试题解析:(Ⅰ)解:由左视图可得 为的中点,
所以 △的面积为 . 1分
因为平面, 2分
所以四面体的体积为
3分
. 4分
(Ⅱ)证明:取中点,连结,. 5分
由正(主)视图可得 为的中点,所以∥,. 6分
又因为∥,, 所以∥,.
所以四边形为平行四边形,所以∥. 8分
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面. 9分
(Ⅲ)证明:因为 平面,所以 .
因为面为正方形,所以 .
所以 平面. 11分
因为 平面,所以 .
因为 ,为中点,所以 .
所以 平面.
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