题目内容

如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.

(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)证明:∥平面
(Ⅲ)证明:平面平面

(I);(II)详见解析;(Ⅲ)详见解析.

解析试题分析:(I)根据三视图等条件,求出棱锥底面积和高,可求体积;(II)在面PFC内找一直线平行AE即可证明∥平面;(III)证平面平面只需证明平面过平面的一条垂线即可.
试题解析:(Ⅰ)解:由左视图可得 的中点,
所以 △的面积为 .      1分
因为平面,                   2分
所以四面体的体积为
                      3分
.                     4分
(Ⅱ)证明:取中点,连结.                                  5分

由正(主)视图可得 的中点,所以.      6分
又因为, 所以
所以四边形为平行四边形,所以.                       8分
因为 平面平面
所以 直线∥平面.                                            9分
(Ⅲ)证明:因为 平面,所以
因为面为正方形,所以
所以 平面.                                               11分
因为 平面,所以 .      
因为 中点,所以
所以 平面.                                              

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