Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c(b≠1)，且

sinB

sinA

，

C

A

都是方程log

b

x=logb(4x-4)的根，求角A、B、C的值．

Answer 1

分析：通过方程求出方程的根，利用正弦定理求出a，b的关系，通过余弦定理确定三角形的形状，求出角A、B、C的值．

解答：解：∵log

b

x=logbx2(x＞0)
∴原不等式等价于

4x-4＞0 logbx2=logb(4x-4)

?

x＞1 x2=4x-4

?

x＞1 (x-2)2=0

∴x₁=x₂=2，∴

sinB

sinA

=

C

A

=2∴C=2A且sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a
∵C=2A∴sinC=sin2A=2sinAcosA
即c=2acosA=2a•

b2+c2-a2

2bc

∴bc²=ab²+ac²-a³又∵b=2a，
∴2c²=b²+c²-a²即a²+c²=b²∴B=90°∴A+C=3A=90°，∴A=30°，B=90°，C=60°

点评：本题是中档题，考查对数函数的性质，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力，巧妙应用定理是解好本题的关键．