题目内容
已知函数,以点
为切点作函数图像的切线
,直线
与函数
图像及切线
分别相交于
,记
.
(1)求切线的方程及数列
的通项;
(2)设数列的前
项和为
,求证:
.
(1)切线的方程为
,数列
的通项公式为
;(2)详见试题解析.
解析试题分析:(1)由导数的几何意义,先对函数求导,求导函数
在
处的函数值,即得切线的斜率,最后由直线的点斜式方程即可求得切线
的方程,进一步结合已知条件可得
的坐标,由两点间的距离公式可得数列
的通项;(2)首先写出数列
的前
项和
的表达式,根据数列
通项公式的结构特征选择裂项相消法求和
,进而可证明不等式
.
试题解析:(1)对求导,得
,则切线
方程为:
,即
,易知
,
,
由知
=
.
(2)=
=
,
=
=
=
<1.
考点:1.导数的几何意义;2.数列通项公式及前项和的求法(裂项相消法);3.数列不等式的证明.

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