题目内容

已知椭圆数学公式的右焦点为F,右准线为l,过F作直线交椭圆C于点P、Q两点.
(I)设数学公式(O为坐标原点),求M的轨迹方程;
(II)设N是l上的任一点,求证:∠PNQ<90°.

解:(1)设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),由题设知.由,知M为PQ之中点,∴又P、Q在椭圆C上,则.当x1≠x2时,两式相减,得,即,又,所以,化简得
当x1=x2时,即PQ垂直于x轴时,此时M的坐标为(),也是满足上式.故所求的轨迹方程为
(II)过P、Q及PQ之中点R,分别作右准线l的垂线PP1,QQ1,RR1,垂足为P1,Q,R1,由椭圆的定义,知,∴

所以以PQ为直径的圆与l相离,所以N在以PQ为直径的圆外,所以∠PNQ<90°.
分析:(1)设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),由题设知.由,知M为PQ之中点,知,由P、Q在椭圆C上,有.由点差法能够得到所求的轨迹方程.
(II)过P、Q及PQ之中点R,分别作右准线l的垂线PP1,QQ1,RR1,垂足为P1,Q,R1,由椭圆的定义,知,故.由此能够证明∠PNQ<90°.
点评:本题考查M的轨迹方程的求法和证明∠PNQ<90°.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
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