Question

已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点，以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N．
（1）若双曲线的离心率2，求圆的半径；
（2）设AB中点为H，若，求双曲线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线方程，将直线方程代入，求出半径即可．
（2）设出双曲线方程，直线方程代入化简为一元二次方程，并根据韦达定理化简，最后求出c
解答：解：（1）设双曲线方程为
由题知：
∴双曲线方程为右焦点F（2，0）
故直线l的方程为y=x-2代入中得：2x²+4x-7=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∴
∴半径r=3

（2）设双曲线方程为代入并整理得（c²-2）x²+2cx-2c²+1=0，
由韦达定理：
设
设圆半径为R且的夹角为θ，
则
∴
∴中
得：c²=3，
∴所求的双曲线方程为．
点评：本题考查圆锥曲线综合运用，以及双曲线的标准方程，平面向量的数量级运算，通过对多种知识的综合理解，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．