题目内容
已知双曲线中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2.一条斜率为1的直线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点,以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N.(1)若双曲线的离心率2,求圆的半径;
(2)设AB中点为H,若
HM |
HN |
16 |
3 |
分析:(1)设出双曲线方程,将直线方程代入,求出半径即可.
(2)设出双曲线方程,直线方程代入化简为一元二次方程,并根据韦达定理化简,最后求出c
(2)设出双曲线方程,直线方程代入化简为一元二次方程,并根据韦达定理化简,最后求出c
解答:解:(1)设双曲线方程为
-
=1(a>0,b>0)
由题知:a=1,
=2,∴c=2,∴b2=c2-a2=3
∴双曲线方程为x2-
=1右焦点F(2,0)
故直线l的方程为y=x-2代入x2-
=1中得:2x2+4x-7=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1-x2=-2,x1•x2=-
∴|AB|=
•
=6
∴半径r=3
(2)设双曲线方程为x2-
=1,将y=x-c代入并整理得(c2-2)x2+2cx-2c2+1=0,
由韦达定理:x1+x2=
,x1x2=
设H(x0,y0),则x0=
(x1+x2)=
?y0=x0-c=
设圆半径为R且
与
的夹角为θ,
则R2cosθ=-
R=
|AB|=
•
=2|
|
∴cos
=
=
∴cosθ=2cos2
-1=
代入R2cosθ=-
中
得:c2=3,
∴所求的双曲线方程为x2-
=1.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
由题知:a=1,
c |
a |
∴双曲线方程为x2-
y2 |
3 |
故直线l的方程为y=x-2代入x2-
y2 |
3 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1-x2=-2,x1•x2=-
7 |
2 |
∴|AB|=
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
∴半径r=3
(2)设双曲线方程为x2-
y2 |
c2-1 |
由韦达定理:x1+x2=
2c |
2-c2 |
1-2c2 |
2-c2 |
设H(x0,y0),则x0=
1 |
2 |
c |
2-c2 |
c3-c |
2-c2 |
设圆半径为R且
HM |
HN |
则R2cosθ=-
16 |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
c2-1 |
c2-2 |
∴cos
θ |
2 |
x0-
| ||
R |
1 |
c |
∴cosθ=2cos2
θ |
2 |
2-c2 |
c |
16 |
3 |
得:c2=3,
∴所求的双曲线方程为x2-
y2 |
2 |
点评:本题考查圆锥曲线综合运用,以及双曲线的标准方程,平面向量的数量级运算,通过对多种知识的综合理解,考查对知识的综合运用能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(
,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-
,则此双曲线的方程是( )
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2 |
3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(-
, 0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程为( )
5 |
A、
| ||||
B、x2-
| ||||
C、
| ||||
D、
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