题目内容

已知双曲线中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2.一条斜率为1的直线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点,以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N.
(1)若双曲线的离心率2,求圆的半径;
(2)设AB中点为H,若
HM
HN
=-
16
3
,求双曲线方程.
分析:(1)设出双曲线方程,将直线方程代入,求出半径即可.
(2)设出双曲线方程,直线方程代入化简为一元二次方程,并根据韦达定理化简,最后求出c
解答:解:(1)设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

由题知:a=1,
c
a
=2,∴c=2,∴b2=c2-a2=3

∴双曲线方程为x2-
y2
3
=1
右焦点F(2,0)
故直线l的方程为y=x-2代入x2-
y2
3
=1
中得:2x2+4x-7=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1-x2=-2,x1x2=-
7
2

|AB|=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=6

∴半径r=3

(2)设双曲线方程为x2-
y2
c2-1
=1,将y=x-c
代入并整理得(c2-2)x2+2cx-2c2+1=0,
由韦达定理:x1+x2=
2c
2-c2
x1x2=
1-2c2
2-c2

H(x0y0),则x0=
1
2
(x1+x2)=
c
2-c2
?y0=x0-c=
c3-c
2-c2

设圆半径为R且
HM
HN
的夹角为θ,
R2cosθ=-
16
3
R=
1
2
|AB|=
2
2
(x1+x2)2-4x1x2
=2|
c2-1
c2-2
|

cos
θ
2
=
x0-
1
c
R
=
1
c

cosθ=2cos2
θ
2
-1=
2-c2
c
代入R2cosθ=-
16
3

得:c2=3,
∴所求的双曲线方程为x2-
y2
2
=1
点评:本题考查圆锥曲线综合运用,以及双曲线的标准方程,平面向量的数量级运算,通过对多种知识的综合理解,考查对知识的综合运用能力,属于中档题.
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