Question

设μ∈R，函数f（x）=e^x+

μ

ex

的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是

3

2

，则该切点的横坐标是

ln2

．

Answer 1

分析：对函数求导，先有导函数为奇函数可求μ，利用导数的几何意义设切点，表示切线的斜率，解方程可得．

解答：解析：∵f（x）=e^x+

μ

ex

，
∴f′（x）=e^x-

μ

ex

，
由于f′（x）是奇函数，∴f′（-x）=-f′（x）对于x恒成立，则μ=1，
∴f′（x）=e^x-

1

ex

．
又由f′（x）=e^x-

1

ex

=

3

2

，
∴2e^2x-3e^x-2=0即（e^x-2）（2e^x+1）=0，
解得e^x=2，故x=ln2．
故答案：ln2．

点评：本题主要考查函数的导数的定义及导数的四则运算及导数的运算性质、函数的奇偶性、导数的几何意义：在某点的导数值即为改点的切线斜率，属于基础知识的简单运用，难度不大．