题目内容

(2009•聊城二模)已知关于x的不等式|3x-1|<a有唯一的整数解,则方程(1-|2x-1|)ax=1实数根的个数为(  )
分析:先根据关于x的不等式|3x-1|<a有唯一的整数解求出a的取值范围,然后将方程(1-|2x-1|)ax=1实数根的个数可转化成y=1-|2x-1|与y=a-x图象的交点,结合图形可得结论.
解答:解:当a≤0时,不等式|3x-1|<a没有整数解
当a>0时,解得
1-a
3
<x<
1+a
3

1
3
附近的整数有0与1,当包含1时有两个整数,不合题意
∴不等式的整数解为0,则
1-a
3
<0
1+a
3
<1

解得1<a<2
方程(1-|2x-1|)ax=1实数根的个数可转化成y=1-|2x-1|与y=a-x图象的交点
分别画出函数y=1-|2x-1|与y=a-x的图象
根据可知有两个交点,则方程(1-|2x-1|)ax=1实数根有2个
故选C.
点评:本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,解决此类问题常常转化成两函数图象的交点问题,同时考查了数形结合的思想,属于中档题.
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