题目内容
【题目】已知抛物线的顶点为原点,焦点为圆的圆心.经过点的直线交抛物线于两点,交圆于两点, 在第一象限, 在第四象限.
(1)求抛物线的方程;
(2)是否存在直线,使是与的等差中项?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析:(1)根据圆的圆心为抛物线的焦点,可求得 ,即可求得抛物线方程;(2)若是等差中项,那么 ,那么 ,再根据抛物线的焦点弦长可知 ,将问题转化为根与系数的关系,求出直线方程.
试题解析:(1)根据已知设抛物线的方程为.
∵圆的方程为,
∴圆心的坐标为,半径.
∴,解得.
∴抛物线的方程为.
(2)∵是与的等差中项,∴.
∴.
若垂直于轴,则的方程为,代入,得.
此时,即直线不满足题意.
若不垂直于轴,设的斜率为,由已知得, 的方程为.
设,由得.
∴.
∵抛物线的准线为,
∴,
∴,解得.
当时, 化为,
∵,∴有两个不相等实数根.
∴满足题意,即直线满足题意.
∴存在满足要求的直线,它的方程为或.
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