题目内容
如图，AC为圆O的直径，AP⊥圆O，PA=AB=BC．（1）证明：面PAB⊥面PBC；
（2）若M、N分别为线段PB、PC的中点，试求直线PC与平面AMN所成角的正弦值．
分析：（1）先利用线面垂直的判定定理证明直线BC⊥面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明面PAB⊥面PBC，（2）先利用线面垂直的判定定理证明PB⊥面AMN，再利用线面所成的角的定义找到线面角的平面角，最后在直角三角形中计算此角即可
解答：
解：（1）由题意，PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
又BC?面PBC，
∴面PAB⊥面PBC
（2）∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB
∴BC⊥PB，又MN∥BC，∴MN⊥PB
在Rt△PAB中，PA=AB，M为中点，
∴AM⊥PB
∴AM∩MN=M，∴PB⊥面AMN
∴∠PNM即为所求角或其补角
设PA=2，则PB=2
，PM=
，AC=2
，PC=2
，PN=
∴sin∠PNM=
=
，即所求角的正弦值为
解：（1）由题意，PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
又BC?面PBC，
∴面PAB⊥面PBC
（2）∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB
∴BC⊥PB，又MN∥BC，∴MN⊥PB
在Rt△PAB中，PA=AB，M为中点，
∴AM⊥PB
∴AM∩MN=M，∴PB⊥面AMN
∴∠PNM即为所求角或其补角
设PA=2，则PB=2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴sin∠PNM=
| PM |
| PN |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题综合考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，空间直线与平面所成的角的作法、证法、求法，转化化归的思想方法
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如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
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时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？
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