题目内容
9.在△ABC中,角A,B、C的对边分别为a,b,c,且向量$\overrightarrow{m}$=(sin(A-B),a2-b2)与向量$\overrightarrow{n}$=(sin(A+B),a2+b2)共线,若角c=120°,则角A=30°.分析 由已知结合向量共线可得(a2+b2)sin(A-B)-(a2-b2)sin(A+B)=0,展开两角和与差的正弦,再利用正弦定理化边为角,可得sin2B=sin2A,再由c=120°,可得A=B=30°.
解答 解:由$\overrightarrow{m}$=(sin(A-B),a2-b2)与$\overrightarrow{n}$=(sin(A+B),a2+b2)共线,
可得(a2+b2)sin(A-B)-(a2-b2)sin(A+B)=0,
即(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)-(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB)=0.
整理得:b2sinAcosB-a2cosAsinB=0,
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$,代入上式得sin2BsinAcosB-sin2AcosAsinB=0,
∵A,B为三角形的内角,∴sinA•sinB≠0,得
sinBcosB-sinAcosA=0,即sin2B=sin2A,
∵c=120°,∴A=B=30°.
故答案为:30°.
点评 本题考查平面向量的数量积运算,考查了正弦定理在解三角形中的应用,是中档题.
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