题目内容
【题目】如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱
中， 
， 
， 
， 
．
（1）若
是线段
上的点且满足
，求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题意建立空间直角坐标系，证得
⊥平面
.即可得平面
⊥平面
；
(2)由题意可知： 
.即二面角
的平面角的余弦值为
.
试题解析：
解:(1) 解法(一): 
, 
， 
，
, 
（没有这一步扣一分）
以
为原点， 
为
轴， 
为
轴， 
为
轴，建立空间直角坐标系.
设
是
的中点,连接
.
平面
, 
.
是
的中点, 
.
， 
， 
，
,
.
,
.
（证得
或
也行）
与
相交于
, 
⊥平面
.
在平面
内, 
平面
⊥平面
(2) 解法一: (若第1问已经建系)
， 
⊥平面
， 
是平面
的一个法向量.
, 
， 
， 
设平面
的法向量是
,则
， 
，
取
，得
. 平面
的法量
.
.
由图可知二面角
的平面角的余弦值为
.
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