Question

我们知道，在平面直角坐标系中，方程

x

a

+

y

b

=1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”；类比到空间直角坐标系中，方程

x

2

+

y

2

+z=1表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为α，则坐标原点到α的距离是（　　）

• A．3
• B．

  2

• C．

  5

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：根据平面上直线的截距式的几何意义，类比到空间中可得方程

x

a

+

y

b

+

z

c

=1表示的图形是一个平面，且在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c，令平面α与x轴，y轴，z轴的交点分别为A，B，C，利用等积法，可求出坐标原点到α的距离．

解答：解：∵在平面直角坐标系中，方程

x

a

+

y

b

=1表示的图形是一条直线，
具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”
类比到空间坐标系中，方程

x

a

+

y

b

+

z

c

=1表示的图形是一个平面
且在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c
故方程

x

2

+

y

2

+z=1表示的平面α
且在x轴，y轴，z轴上的截距分别为2，2，1
设平面α与x轴，y轴，z轴的交点分别为A，B，C
故三棱锥O-ABC的体积V=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

底面ABC的三条边长分别为

5

，

5

，2

2

，
故底面ABC的面积S=

6

故坐标原点到α的距离h满足V=

1

3

Sh
解得h=

6

3

故选D

点评：本题考查的知识点是类比推理，点到平面距离的求法，其中类比直线的截距式类比出方程

x

a

+

y

b

+

z

c

=1表示的图形是一个平面，且在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c，是解答的关键．