题目内容
对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{
}=
．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1={a}，an+1=
其中n=1，2，3，…．
（1）若a=
，求a2，a3 并猜想数列{a}的通项公式（不需要证明）；
（2）当a＞
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
（3）若a是有理数，设a=
（p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．
| 8 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
|
（1）若a=
| 2 |
（2）当a＞
| 1 |
| 4 |
（3）若a是有理数，设a=
| p |
| q |
分析：（1）由题设知a1={
}=
-1，a2={
}={
}={
+1}={
}=
-1，从而可猜想数列{a}的通项公式；
（2）当
＜a＜1，即1＜
＜2时，可求得a=
，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A；
（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对于大于q的自然数n，都有an=0．
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| a1 |
| 1 | ||
|
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（2）当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
-1+
| ||
| 2 |
（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
| pn |
| qn |
解答：解：（1）∵a1={
}=
-1，
a2={
}={
}={
+1}={
}=
-1，
同理可求a3=
-1，
于是猜想：an=
-1．
（2）当
＜a＜1，即1＜
＜2时，a2={
}={
}=
-1=a，
∴a2+a-1=0，
解得a=
或a=
（舍去）；
当
＜a≤
，即2≤
＜3时，a2={
}={
}=
-2=a，
∴a2+2a-1=0，
解得a=
=
-1或a=-
-1（舍去）；
当
＜a≤
，即3≤
＜4时，a2={
}={
}=
-3=a，
∴a2+3a-1=0，
解得a=
或a=
（舍去）．
综上所述，符合要求的实数a构成的集合A={
，
-1，
}．
（3）由a是有理数可知，对一切正整数n，an为0或正有理数．
设an=
（pn是非负整数，qn是正整数且
既约）．
①由a1={
}=
得：0≤p1≤q；
②若pn≠0，设qn=αpn+β（0≤β＜pn，α，β为非负整数），
则
=α+
，而由an=
，得
=
，
∴an+1={
}=
，
∴pn+1=β，qn+1=pn，
∴0≤pn+1＜pn．
若pn=0，则pn+1=0，
若a1、a2、a3、…、aq均不为0，则这q个正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．
故a1、a2、a3、…、aq中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q）使得am=0．
从而{am}中am及以后的项均为0，所以对大于q的任意正整数n，都有an=0成立，
| 2 |
| 2 |
a2={
| 1 |
| a1 |
| 1 | ||
|
| 2 |
| 2 |
| 2 |
同理可求a3=
| 2 |
于是猜想：an=
| 2 |
（2）当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴a2+a-1=0，
解得a=
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
当
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴a2+2a-1=0，
解得a=
-2+
| ||
| 2 |
| 2 |
| 2 |
当
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴a2+3a-1=0，
解得a=
-3+
| ||
| 2 |
-3-
| ||
| 2 |
综上所述，符合要求的实数a构成的集合A={
-1+
| ||
| 2 |
| 2 |
-3+
| ||
| 2 |
（3）由a是有理数可知，对一切正整数n，an为0或正有理数．
设an=
| pn |
| qn |
| pn |
| qn |
①由a1={
| p |
| q |
| p1 |
| q1 |
②若pn≠0，设qn=αpn+β（0≤β＜pn，α，β为非负整数），
则
| qn |
| pn |
| β |
| pn |
| pn |
| qn |
| 1 |
| an |
| qn |
| pn |
∴an+1={
| 1 |
| an |
| β |
| pn |
∴pn+1=β，qn+1=pn，
∴0≤pn+1＜pn．
若pn=0，则pn+1=0，
若a1、a2、a3、…、aq均不为0，则这q个正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．
故a1、a2、a3、…、aq中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q）使得am=0．
从而{am}中am及以后的项均为0，所以对大于q的任意正整数n，都有an=0成立，
点评：本题考查数列的递推，考查集合的求法，考查an=0是否成立的判断与证明．综合性强，计算量大，难度较高，对数学思维能力的要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
其中n=1，2，3，…
，求数列{an}；
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．