Question

5．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能一只昆虫飞出（假设任意一只昆虫等可能地飞出）已知若有2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是$\frac{21}{55}$
（1）求盒子中蜜蜂的数量
（2）从盒子中先后任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）设有蜜蜂x只，则其他昆虫为11-x，然后利用古典概型概率计算公式列式求得x；
（2）写出X的取值，利用古典概型概率计算公式求出相应的概率，列出分布列，由期望公式求得期望．

解答 解：（1）设有蜜蜂x只，则其他昆虫为11-x，
飞出的昆虫是蝴蝶或蜻蜓的概率：$\frac{{C}_{11-x}^{2}}{{C}_{11}^{2}}=\frac{21}{55}$，
解得：x=4；
（2）X的取值为：0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{11}^{3}}=\frac{7}{33}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{11}^{3}}=\frac{28}{55}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{7}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{11}^{3}}=\frac{14}{55}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{11}^{3}}$=$\frac{4}{165}$．
随机变量X的分布列：
因此X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{33}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$	$\frac{4}{165}$

∴EX=$0×\frac{7}{33}+1×\frac{28}{55}+2×\frac{14}{55}+3×\frac{4}{165}$=$\frac{12}{11}$．

点评 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了离散型随机变量的分布列与期望，属中档题．