题目内容

12.已知f(x)=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+sin2x,则f(x)的值域为[-1-$\sqrt{2}$,$\frac{5}{4}$].

分析 由三角函数公式化简可得f(x)=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+1-2sin2(x-$\frac{π}{4}$)令sin(x-$\frac{π}{4}$)=t,则t∈[-1,1],换元后由二次函数区间的值域可得.

解答 解:化简可得f(x)=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+sin2x
=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+cos(2x-$\frac{π}{2}$),
=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+cos[2(x-$\frac{π}{4}$)]
=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+1-2sin2(x-$\frac{π}{4}$)
令sin(x-$\frac{π}{4}$)=t,则t∈[-1,1],
换元可得y=-2t2+$\sqrt{2}$t+1,
由二次函数可知当t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时,函数取最大值$\frac{5}{4}$;
当t=-1时,函数取最小值-1-$\sqrt{2}$,
∴函数的值域为:[-1-$\sqrt{2}$,$\frac{5}{4}$]
故答案为:[-1-$\sqrt{2}$,$\frac{5}{4}$]

点评 本题考查三角函数的最值,涉及换元法和二次函数区间的最值,属中档题.

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