Question

12．求4×6ⁿ+5^n-1被20除后的余数．

Answer 1

分析 利用二项式定理的展开式，4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]，问题得以解决

解答 解：∵4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9
=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）
=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]
=4×（C_n⁰•5⁰+C_n¹•5¹+…+C_nⁿ•5ⁿ-1）+5×（C_n⁰•4⁰+C_n¹•4¹+…+C_nⁿ•4ⁿ-1）
=4×5×（C_n¹+C_n²•5+…+C_nⁿ•5^n-1）+5×4×（C_n¹+C_n²•4+…+C_nⁿ•4^n-1）
=20×[（C_n¹+C_n²•5+…+C_nⁿ•5^n-1）+（C_n¹+C_n²•4+…+C_nⁿ•4^n-1）]
∴4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除，
故4×6ⁿ+5^n-1被20除后的余数为9．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用，利用展开式求证数的整除的问题，属于中档题