Question

【题目】如图，圆为圆上任意一点，过作圆的切线，分别交直线和于两点，连接，相交于点，若点的轨迹为曲线.

（1）设直线的斜率分别为，求的值，并求曲线的方程；

（2）记直线与曲线有两个不同的交点，与直线交于点，与直线交于点，求的面积与的面积的比值的最大值及取得最大值时的值.

（注：在点处的切线方程为）

Answer 1

【答案】(1)（）;(2)取得最大值，此时.

【解析】

（1）易知过点的切线方程为，其中，

则，从而得到，进而得到曲线的方程；

（2）联立消去，得，利用根与系数的关系得到，进而求出，从而有，利用换元法转化为二次函数的最值问题.

（1）易知过点的切线方程为，其中，

则，

∴

设，则（）

故曲线的方程为（）

（2）联立消去，得，

设，则，

由得且

∴，

易得，

∴，

∴，

令且，

则，

当，即时，取得最大值，此时.