Question

已知圆心在第一象限的圆C的半径为2

5

，且与直线x+2y-6=0切于点P（2，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）从圆C外一点P引圆C的切线PT，T为切点，且PT=PO（O为坐标原点），求PT的最小值．

Answer 1

（1）过点P（2，2）且与直线x+2y-6=0垂直的直线方程为2x-y-2=0，
故可设圆的圆心为（a，2a-2），则

|a+4a-4-6|

5

=2

5

，解得a=4或a=0，
因为圆心在第一象限，故圆心坐标为（4，6），
所以圆的方程为（x-4）²+（y-6）²=20；
（2）设P（x，y），则PO=

x2+y2

，PT=

(x-4)2+(y-6)2-20

，
由PT=PO得，2x+3y-8=0，
所以PTmin=POmin=

8

13

=

8 13

13

．
即PT的最小值为

8 13

13

．