题目内容
已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于
.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆心在第一象限,点P是圆C上的一个动点,求x2+y2的取值范围.
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(1)求圆C的方程;
(2)若圆心在第一象限,点P是圆C上的一个动点,求x2+y2的取值范围.
分析:(1)由圆C与两坐标轴都相切,设出圆心C的坐标为(a,a),可得圆的半径r=|a|,又圆心C到直线y=-x的距离等于
,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,进而确定出圆C的方程;
(2)由圆心C在第一象限,由第一问的结论得出圆C的方程,确定出圆心及半径,求出圆心C到原点的距离d,根据d+r为圆上点到原点距离的最大值,d-r为圆上的点到原点距离的最小值,根据求出的最值平方即可得到x2+y2的取值范围.
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(2)由圆心C在第一象限,由第一问的结论得出圆C的方程,确定出圆心及半径,求出圆心C到原点的距离d,根据d+r为圆上点到原点距离的最大值,d-r为圆上的点到原点距离的最小值,根据求出的最值平方即可得到x2+y2的取值范围.
解答:解:(1)根据题意设出圆心C坐标为(a,a),半径r=|a|,
∴圆心C到直线y=-x的距离d=
,又d=
,
∴|2a|=2,即|a|=1,
解得:a=1或a=-1,
则圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=1;
(2)∵圆心在第一象限,
∴圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1,
又P(x,y)为圆C上的动点,
∴x2+y2的表示圆上的点P到原点距离的平方,
∵圆心C到原点的距离d=
,圆的半径r=1,
∴圆上的点到原点距离的最大值为d+r=
+1,最小值为d-r=
-1,
则x2+y2的范围是[(
-1)2,(
+1)2],即[3-2
,3+2
].
∴圆心C到直线y=-x的距离d=
|2a| | ||
|
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∴|2a|=2,即|a|=1,
解得:a=1或a=-1,
则圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=1;
(2)∵圆心在第一象限,
∴圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1,
又P(x,y)为圆C上的动点,
∴x2+y2的表示圆上的点P到原点距离的平方,
∵圆心C到原点的距离d=
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∴圆上的点到原点距离的最大值为d+r=
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则x2+y2的范围是[(
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点评:此题考查了圆的标准方程,两点间的距离公式,点到直线的距离公式,切线的性质,其中x2+y2的表示圆山的点P到原点距离的平方,进而根据题意得出圆上的点到原点距离的最大值为d+r及最小值为d-r是解本题的关键.

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