Question

（2013•普陀区一模）设函数f（x）和x都是定义在集合

2

上的函数，对于任意的

2

x，都有x成立，称函数x与y在l上互为“l函数”．
（1）函数f（x）=2x与g（x）=sinx在M上互为“H函数”，求集合M；
（2）若函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）与g（x）=x+1在集合M上互为“x函数”，求证：a＞1；
（3）函数m与m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N^*}上互为“m函数”，当m时，m，且m在m上是偶函数，求函数m在集合M上的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，由此能求出集合M．
（2）由题意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1），变形得a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=

1

a-1

，由此能证明a＞1．
（3）当-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于函数g（x）在（-1，1）上是偶函数，知g（x）=g（-x）=log₂（1-x），由此能求出函数m在集合M上的解析式．

解答：（1）解：由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，
化简得，2sinx（1-cosx）=0，sinx=0或cosx=1，…（2分）
解得x=kπ或x=2kπ，k∈Z，
即集合M={x|x=kπ}k∈Z．…（2分）
（若学生写出的答案是集合M={x|x=kπ，k∈Z}的非空子集，扣（1分），以示区别．）
（2）证明：由题意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1）…（2分）
变形得，a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=

1

a-1

，…（2分）
因为a^x＞0，所以

1

a-1

＞0，即a＞1．…（2分）
（3）解：当-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于函数g（x）在（-1，1）上是偶函数
则g（x）=g（-x）=log₂（1-x）
所以当-1＜x＜1时，g（x）=log₂（1+|x|）…（2分）
由于f（x）=x+2与函数g（x）在集合M上“互为H函数”
所以当x∈M，f（g（x）=g（f（x））恒成立，
g（x）+2=g（x+2）对于任意的x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）恒成立，
即g（x+2）-g（x）=2…（2分）
所以g[x+2（n-1）+2]-g[x+2（n-1）]=2，
即g（x+2n）-g[x+2（n-1）]=2
所以g（x+2n）=g（x）+2n，
当x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）时，x-2n∈（-1，1）g（x-2n）=log₂（1+|x-2n|）…（2分）
所以当x∈M时，g（x）=g[（x-2n）+2n]=g（x-2n）+2n=log₂（1+|x-2n|）+2n．…（2分）

点评：本题考查集合的求法，考查不等式的证明，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．