题目内容
【题目】已知函数
，其中
.
（1）若曲线
在点
处的切线方程为
，求函数
的解析式.
（2）讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
（1）求函数f（x）的导数，令f'（2）＝4求出a值，利用切点P（2，f（2））在函数f（x）和切线y＝4x﹣2上，求出b值，可得答案．（2）求导函数，比较导函数等于0的方程根的大小，分类讨论，确定函数的单调性；
（1）求导函数得f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2
∵若曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y＝4x﹣2
∴f′（2）＝4a﹣2（a+2）+2＝4
∴2a＝6，∴a＝3,
∵点P（2，f（2））在切线方程y＝4x﹣2上,
∴f（2）＝4×2﹣2＝6，∴2+b＝6，∴b＝4
∴函数f（x）的解析式为；
（2）f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝(ax-2)(x-1),函数定义域为R，
①当a=0时，f′（x）＝﹣2（x-1）,
函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
②当0＜a＜2，即
时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）及（
，+∞）上为增函数；在区间（1，）上为减函数；
③当a＞2，即
时，函数f（x）在区间（﹣∞，）及（1，+∞）上为增函数；在区间（，1）上为减函数；
④当a=2时，f′（x）＝(2x-2)(x-1)=
，可知函数在定义域上为增函数.
⑤当
时，函数在区间
及（1，+∞）上为减函数，在区间
上为增函数.
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