Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

2

2

，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距离之和为4

2

．
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

？若存在，求出该圆的方程；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据离心率为e=

2

2

，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距离之和为4

2

，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及

OA

⊥

OB

，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．

解答：解：（I）依题意知，2a=4

2

，∴a=2

2

．----------（1分）
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=2，b=

a2-c2

=2．---------------（3分）
∴所求椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．----------（4分）
（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，
设该圆的切线方程为y=kx+m----------（5分）
代入椭圆方程，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，----------------（6分）
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，-------------------（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，-------------------（9分）
所以3m²-8k²-8=0，所以k2=

3m2-8

8

≥0-------------------（10分）
又8k²-m²+4＞0，所以

m2＞2 3m2≥8

，∴m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=

|m|

1+k2

，
即：r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，∴r=

2 6

3

，∴所求的圆的方程为：x2+y2=

8

3

，-------------（12分）
而当切线的斜率不存在时切线为x=±

2 6

3

与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的两个交点为（

2 6

3

，±

2 6

3

）或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)满足

OA

⊥

OB

．-----------------（13分）
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=

8

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

．----------------（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查 直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．