Question

【题目】设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，，，解得即可求出椭圆的C的方程；

（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF,解得.由方程组消去y，解得，由,得到,转化为关于k的不等式，求得k的范围.

（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，

所以，

因为椭圆离心率为，所以，

又，

解得，，，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）设直线的斜率为，则，设，

由得，

解得，或，由题意得，

从而，

由（Ⅰ）知，，设，

所以，，

因为，所以，

所以，解得，

所以直线的方程为，

设，由消去，解得，

在中，，

即，

所以，即，

解得，或.

所以直线的斜率的取值范围为.