题目内容
已知函数(其中是实数常数,)
(1)若,函数的图像关于点(—1,3)成中心对称,求的值;
(2)若函数满足条件(1),且对任意,总有,求的取值范围;
(3)若b=0,函数是奇函数,,,且对任意时,不等式恒成立,求负实数的取值范围.
【答案】
(1);(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)由于,,这种类型的函数我们易联想到函数的平移变换,如向右平移个单位,再向上平移个单位,得函数的图象,且函数的图象的对称中心就是,因此我们只要把转化为的形式,即,就能得出结论;(2)由(1)知,,问题是当时,函数的值域,可分类讨论,当时,,而当时,函数具有单调性,由此可很快求出函数的最值,求出的取值范围;(3)由于,中还有三个参数,正好题中有三个条件,我们可先求出,然后才能把不等式化为,由于,因此此分式不等式可以两边同乘以直接去分母化为整式不等式,,从而可以分离参数得,也即,下面我们只要求出的最小值即可.
试题解析:(1),
.
类比函数的图像,可知函数的图像的对称中心是.
又函数的图像的对称中心是,
(2)由(1)知,.
依据题意,对任意,恒有.
若,则,符合题意.
若,当时,对任意,恒有,不符合题意.
所以,函数在上是单调递减函数,且满足.
因此,当且仅当,即时符合题意.
综上,所求实数的范围是.
(3)依据题设,有解得
于是,.
由,解得.
因此,.
考察函数,可知该函数在是增函数,故.
所以,所求负实数的取值范围是.
考点:(1)图象变换;(2)函数的最值;(3)分式不等式与分离参数法求参数取值范围.
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