Question

给出下列命题：
①当α=4.5π时，函数y=cos（2x+α）是奇函数；
②函数y=sinx在第一象限内是增函数；
③函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

的最小值是-

1

2

；
④存在实数α，使sinα•cosα=1；
⑤函数y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的图象关于直线x=

π

12

对称?ω=4k（k∈N^*）．
其中正确的命题序号是

①③

．

Answer 1

分析：①当α=4.5π时，函数y=cos（2x+α）=-sin2x是奇函数；
②因为y=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函数．而说第一象限是增函数不对的；
③在函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

中，-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

；
④sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]；
⑤y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的图象关于直线x=

π

12

对称?ω=4．

解答：解：①当α=4.5π时，函数y=cos（2x+α）=-sin2x，是奇函数，故①正确；
②因为y=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函数．而说第一象限是增函数不对的，
因为在一个象限并不一定在一个区间内．所以②错误；
③在函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

中，
∵0≤sin²x≤1，-1≤-（

2

3

）^|x|＜0，
∴-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

，
∴函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

有最小值-

1

2

，故③正确；
④∵sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴不存在实数α，使sinα•cosα=1，故④不正确；
⑤∵y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)
=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0）的图象关于直线x=

π

12

对称，
∴ω=4．故⑤不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的灵活运用．