题目内容

设F是椭圆 $数学公式$ 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i（i=1，2，3，…），使|FP₁|，|FP₂|，|FP₃|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．

$\text{[math]}$
分析：若这个等差数列是增数列，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；若这个等差数列是减数列，则 $\text{[math]}$ ，由此可求出d的取值范围．
解答：若这个等差数列是增数列，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴a₂₁=a₁+20d，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
若这个等差数列是减数列，则 $\text{[math]}$ ，
∴a₂₁=a₁+20d，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴d的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
答案： $\text{[math]}$ ．
点评：本题以椭圆知识为载体考查数列知识，体现了出题人的智慧．

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已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

（2012•河北模拟）如图，已知椭圆

=1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．
（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；
（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得

恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．

（2011•石景山区一模）已知椭圆

=1经过点P（

），离心率是

，动点M（2，t）（t＞0）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．

（（本题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点在直线上。

（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

（本小题满分13分）

已知椭圆经过点，离心率为，动点

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．