题目内容
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是有一个角为60°的菱形，AA1=AB，从顶点中取出三个能构成不同直角三角形的个数有（ ）个．
A．48
B．40
C．24
D．16
【答案】分析：由题意可得，这3个顶点必须在直四棱柱的4个侧面内，或在2个互相垂直的对角面ACC1A1和 BDD1B1内，故有6C43 个．
解答：解：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是有一个角为60°的菱形，AA1=AB，
故在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的4个侧面都是正方形，对角面ACC1A1和 BDD1B1 中一个是矩形，另一个是正方形．
直四棱柱的上下底面和其它的对角面不是矩形．
而每个正方形的4个顶点中任意三点的连线都构成直角三角形，共有5C43=20个．
矩形的4个顶点中任意取3个点的连线也都构成直角三角形，共有C43=4个．
根据分类计数原理，构成不同直角三角形的个数有 5C43+C43=24个，
故选：C．
点评：本题主要考组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．
解答：解：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是有一个角为60°的菱形，AA1=AB，
故在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的4个侧面都是正方形，对角面ACC1A1和 BDD1B1 中一个是矩形，另一个是正方形．
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而每个正方形的4个顶点中任意三点的连线都构成直角三角形，共有5C43=20个．
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根据分类计数原理，构成不同直角三角形的个数有 5C43+C43=24个，
故选：C．
点评：本题主要考组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．
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