题目内容
15.已知以抛物线x2=2py(p>0)的焦点为虚轴的一个端点的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(b>0),抛物线的一条与双曲线的渐近线平行的切线在y轴上的截距为-1,则p的值为( )A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 设切线方程为y=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x-1与抛物线方程联立,消去y可得x2-$\frac{pb}{\sqrt{2}}$x+2p=0,△=0,可得$\frac{{p}^{2}{b}^{2}}{2}$-8p=0,再求出b=$\frac{p}{2}$,即可求出p的值.
解答 解:双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x,不妨设切线方程为y=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x-1
与抛物线方程联立,消去y可得x2-$\frac{pb}{\sqrt{2}}$x+2p=0,
△=0,可得$\frac{{p}^{2}{b}^{2}}{2}$-8p=0,
∵以抛物线x2=2py(p>0)的焦点为虚轴的一个端点的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(b>0),
∴b=$\frac{p}{2}$,
∴$\frac{{p}^{4}}{4}-16p$=0,
∵p>0,
∴p=4.
故选:D.
点评 本题考查抛物线、双曲线的性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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3.若f(x+$\frac{1}{x}$)=x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$,则f(x)=( )
A. | x2-2 | B. | x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$ | C. | x2+2 | D. | x2-$\frac{1}{{x}^{2}}$ |
10.已知a>0,b>0,a+b=1,(a+$\frac{1}{a}$)2+(b+$\frac{1}{b}$)2的最小值( )
A. | 6 | B. | 8 | C. | 10 | D. | $\frac{25}{2}$ |
7.如果在区间[1,3]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$在同一点取得相同的最小值,那么下列说法不对的是( )
A. | f(x)≥3(x∈[1,2]) | B. | f(x)≤4(x∈[1,2]) | ||
C. | f(x)在x∈[1,2]上单调递增 | D. | f(x)在x∈[1,2]上是减函数 |
4.下列大小关系正确的是( )
A. | log43<30.4<0.43 | B. | log43<0.43<30.4 | C. | 0.43<30.4<log43 | D. | 0.43<log43<30.4 |