题目内容

设椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2的最大值为
2π
3
．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于M、N两点，且l与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切．已知|MN|的最大值为4，求椭圆的方程和直线l的方程．
分析：（1）由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a?，由余弦定理可得，COS∠F1PF2=
PF12+
PF
2
2
- F1F22
2PF1•PF2
，代入可求离心率
（2）由（I）可得e=
3
2
，从而可得椭圆方程为y2+4x2=4b2，该直线l：y=kx+m．由直线l与圆x2+y2=b2相切，可得m2=b2（1+k2），联立方程
y2+4x2=4b2
y=kx+m
可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0而|MN|=4
3
b•
1
1+k2
+
3
1+k2
≤2b?可求
解答：解：∵椭圆方程为
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）?
（1）|PF1|+|PF2|=2a?
cosF1PF2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|
=
4a2-4c2
2|PF1|•|PF2|
-1＞1-2e2=-
1
2

∴e=
3
2

（2）∵e=
3
2
，∴a2=4b2．?
∴椭圆方程为y2+4x2=4b2?
该直线l：y=kx+m．?
∵直线l与圆x2+y2=b2相切，∴m2=b2（1+k2）①?
从
y2+4x2=4b2
y=kx+m
得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0
∵|MN|=4
3
b•
1
1+k2
+
3
1+k2
≤2b?
当且仅当k=±
2
时取等号．
∴l：y=±
2
x+2
3

此时椭圆方程为：
x2
4
+
y2
16
=1．
点评：本题主要考查椭圆的性质的简单运用，及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了考试的基本运算的能力，属于综合性试题．
练习册系列答案
相关题目
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1，（a＞b＞0）上的两点，已知向量
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，若椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
已知a＞b＞0F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，
PF
与x轴平行，
PF
=
a
4
，设A（x1，y1），B（x2，y2），
i
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，
i
⊥
n
原点O与A、B两点构成的△AOB的面积为S
（I ）求椭圆E的离心率
（II）设椭圆E上的点与椭圆£的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，S是否为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
2
)，求△PAB面积的最大值．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
2
)，求△PAB面积的最大值．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1，（a＞b＞0）上的两点，已知向量
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，若椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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