题目内容

设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
2
)，求△PAB面积的最大值．
（1）双曲线的离心率为
2
，则椭圆的离心率为e=
c
a
=
2
2
（2分）圆x2+y2=4的直径为4，则2a=4，
得：
2a=4
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
?
a=2
c=
2
b=
2

所求椭圆M的方程为
y2
4
+
x2
2
=1．（6分）
（2）直线AB的直线方程：y=
2
x+m．
由
y= 
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1
，得4x2+2
2
mx+m2-4=0，
由△=(2
2
m)2-16(m2-4) ＞0，得-2
2
＜m＜2
2

∵x1+x2=-
2
2
m，x1x2=
m2-4
4
．
∴|AB|=
1+2
|x1-x2|=
3
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
3
•
1
2
m2-m2+4
=
3
4-
m2
2
（9分）
又P到AB的距离为d=
|m|
3
．
则S△ABC=
1
2
|AB|d=
1
2
3
4-
m2
2
|m|
3
=
1
2
m2(4-
m2
2
)
=
1
2
2
m2(8-m2)
≤
1
2
2
•
m2+(8-m2)
2
=
2
当且仅当m=±2∈(-2
2
，2
2
)取等号
∴(S△ABC)max=
2
．　　　　（12分）
练习册系列答案
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精英家教网设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
7
4
，点A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原点O到直线AB的距离为
12
5
，点P在椭圆M上（与A，C均不重合），点D在直线PC上，若直线PA的方程为x=my-4，且
PC
•
BD
=0．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求直线BD的方程．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
2
)，求△PAB面积的最大值．
精英家教网设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
7
4
，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为
12
5
，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且
PC
⊥
PD
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ） 直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．

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