Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|关于x=1对称，则不等式f（x²-3）＜f（x-1）的解为

（-3，-1）

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=|x+1|+|x-a|关于x=1对称，可求函数的解析式，进而利用换元的思想，将函数转化为偶函数，从而利用函数的单调性求出不等式的解．

解答：解：因为函数图象关于x=1对称，所以，f（x）=f（2-x）对任意实数x都成立，
即|x+1|+|x-a|=|x-3|+|x+a-2|，
取x=3得|a-3|+4=|a+1|，
解得 a=3．
∴函数f（x+1）=|x+2|+|x-2|关于x=0对称，且在（2，+∞）上为单调增函数
令g（x）=f（x+1），则g（x）关于x=0对称，且在（2，+∞）上为单调增函数
不等式f（x²-3）＜f（x-1）等价于g（x²-4）＜g（x-2）
∴|x²-4|＜|x-2|
∴-3＜x＜-1
故答案为：（-3，-1）

点评：本题以函数的对称性为载体，考查函数的解析式，同时考查了利用函数的单调性解不等式，解题的关键是根据函数的解析式，得出函数的性质．