题目内容
如图，设F是椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| PM |
| MF |
| MN |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P作直线与椭圆交于A、B两点，求△ABF面积的最大值．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的长轴求得椭圆方程中的a，利用椭圆的定义和
=2
求得离心率，进而求得c，则b的值可得，最后求得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设出AB的方程，代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB，进而根据S△ABF=S△PBF-S△PAF|表示出△ABF面积利用基本不等式求得面积的最大值．
| PM |
| MF |
（Ⅱ）设出AB的方程，代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB，进而根据S△ABF=S△PBF-S△PAF|表示出△ABF面积利用基本不等式求得面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由题意
=8，得2a=8，∴a=4．
又
=2
，∴e=
∴c=2，b2=a2-c2=12．
∴椭圆的标准方程为
+
=1．
（Ⅱ）设过P点的直线AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0，yA+yB=
，yAyB=
．
而S△ABF=S△PBF-S△PAF=
|PF|•|yB-yA|=
．
即S△ABF=
=
≤
=3
．
当且仅当3
=
，即m=±
时等号成立，且满足△＞0．
∴△ABF面积的最大值是3
．
| |MN| |
又
| PM |
| MF |
| 1 |
| 2 |
∴c=2，b2=a2-c2=12．
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（Ⅱ）设过P点的直线AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0，yA+yB=
| 48m |
| 3m2+4 |
| 144 |
| 3m2+4 |
而S△ABF=S△PBF-S△PAF=
| 1 |
| 2 |
72
| ||
| 3m2+4 |
即S△ABF=
72
| ||
| 3(m2-4)+16 |
| 72 | ||||||
3
|
| 72 | ||
2
|
| 3 |
当且仅当3
| m2-4 |
| 16 | ||
|
2
| ||
| 3 |
∴△ABF面积的最大值是3
| 3 |
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的关系．解题最后注意对所求的m的值代入判别式进行验证．保证答题的严密性．
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．
的最大值．
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