题目内容

12.已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=$\frac{1}{2}r$(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,各面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则三棱锥体积VA-BCD=$\frac{1}{3}$R(S1+S2+S3+S4).

分析 通过面类比为体,线类比为面,点类比为线,三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球.

解答 解:连接内切球球心与各切点,将三棱锥分割成四个小棱锥,它们的高都等于R,底面分别为三棱锥的各个面,它们的体积和等于原三棱锥的体积.即三棱锥体积VA-BCD=$\frac{1}{3}$R(S1+S2+S3+S4).
故答案为:$\frac{1}{3}$R(S1+S2+S3+S4).

点评 类比推理是一种非常重要的推理方式,可以以这种推理方式发现证明的方向,但此类推理的结果不一定是正确的,需要证明.

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