题目内容

10.已知集合A={x|ax2-x+a+2=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(2)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.

分析 (1)分a=0和a≠0两种情况讨论;
(2)分A中只有一个元素和A为∅两种情况讨论.

解答 解:(1)当a=0时,A={x|-x+2=0}={2}.
当a≠0时,则方程ax2-x+a+2=0只有一解,
∴△=1-4a2-8a=0,解得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$.
当$a=\frac{{-2+\sqrt{5}}}{2}$时,$A=\left\{{\sqrt{5}+2}\right\}$;当$a=\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}$时,$A=\left\{{2-\sqrt{5}}\right\}$.
(2)A中没有元素时,△<0,即4a2+8a-1>0,解得a<$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$或a>$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$,
A中只有一个元素时,由(1)得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$或a=0.
综上,a的取值范围是(-∞,$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$]∪{0}∪[$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$,+∞).

点评 本题考查了函数零点的个数判断,对a进行讨论是关键.

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