题目内容
10.已知集合A={x|ax2-x+a+2=0,a∈R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(2)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.
分析 (1)分a=0和a≠0两种情况讨论;
(2)分A中只有一个元素和A为∅两种情况讨论.
解答 解:(1)当a=0时,A={x|-x+2=0}={2}.
当a≠0时,则方程ax2-x+a+2=0只有一解,
∴△=1-4a2-8a=0,解得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$.
当$a=\frac{{-2+\sqrt{5}}}{2}$时,$A=\left\{{\sqrt{5}+2}\right\}$;当$a=\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}$时,$A=\left\{{2-\sqrt{5}}\right\}$.
(2)A中没有元素时,△<0,即4a2+8a-1>0,解得a<$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$或a>$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$,
A中只有一个元素时,由(1)得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$或a=0.
综上,a的取值范围是(-∞,$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$]∪{0}∪[$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$,+∞).
点评 本题考查了函数零点的个数判断,对a进行讨论是关键.
练习册系列答案
相关题目
5.已知$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x-3(x>0)\\{e^x}(x<0)\end{array}\right.$,则f[f(1)]=( )
A. | e | B. | $\frac{1}{e}$ | C. | e2 | D. | $\frac{1}{e^2}$ |
15.已知数列$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{4}$、$\frac{\sqrt{7}}{6}$、$\frac{3}{a-b}$、$\frac{\sqrt{a+b}}{10}$…根据前三项给出的规律,则实数对(a,b)可能是( )
A. | (10,2) | B. | (10,-2) | C. | ($\frac{19}{2}$,$\frac{3}{2}$) | D. | ($\frac{19}{2}$,-$\frac{3}{2}$) |
19.函数y=ln(x2-4x+3)的单调减区间为( )
A. | (2,+∞) | B. | (3,+∞) | C. | (-∞,2) | D. | (-∞,1) |