Question

已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ）+1 （A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值为3，其图象的两条相邻对称轴间的距离为2，与y轴交点的纵坐标为2，则f（x）的单调递增区间是

[4k-1，4k+1]，k∈z

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为

A

2

+1-

A•cos(2ωx+2φ)

2

，根据最值求A，根据周期求得ω，根据函数的图象与y轴交点的纵坐标为2，求得φ，可得f（x）=2-cos（

π

2

x+

π

2

）．本题即求y=cos（

π

2

x+

π

2

）的减区间．令 2kπ≤

π

2

x+

π

2

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范围，即可求得函数f（x）的增区间．

解答：解：∵函数f（x）=Asin²（ωx+φ）+1=A•

1-cos(2ωx+2φ)

2

+1=

A

2

+1-

A•cos(2ωx+2φ)

2

（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值为3，故

A

2

+1+

A

2

=3，∴A=2．
再由其图象的两条相邻对称轴间的距离为2，可得它的周期T=4=

2π

2ω

，∴ω=

π

4

．
再由函数与y轴交点的纵坐标为2，可得2-cos（2φ）=2，cos2φ=0，∴2φ=

π

2

，φ=

π

4

，
故f（x）=2-cos（

π

2

x+

π

2

）．
则f（x）的单调递增区间，即为y=cos（

π

2

x+

π

2

）的减区间．
令 2kπ≤

π

2

x+

π

2

≤2kπ+π，k∈z，求得 4k-1≤x≤4k+1，故f（x）的单调递增区间是[4k-1，4k+1]，k∈z，
故答案为[4k-1，4k+1]，k∈z．

点评：本题主要考查二倍角公式、余弦函数的图象和性质的应用，由函数y=Acos（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题