题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为 .
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1 , 且直线OA、OB的斜率之积等于- ,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.
【答案】
(1)解:设P(x,y),由题意可得, ,
化简得3x2+4y2=12,
所以,动点P的轨迹C的方程为
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由 ,得
,
,
因为点A、B在椭圆C上,
所以 ,
,
所以, =
,
化简得 .
① 当x1=x2时,则四边形ABA1B1为矩形,y2=﹣y1,则 ,
由 ,得
,
解得 ,
,S=|AB||A1B|=4|x1||y1|=
;
②当x1≠x2时,直线AB的方向向量为 ,
直线AB的方程为(y2﹣y1)x﹣(x2﹣x1)y+x2y1﹣x1y2=0,
原点O到直线AB的距离为 ,
所以△AOB的面积 ,
根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|,
所以,
= ,
所以 .
所以,四边形ABA
【解析】(1)设P(x,y),由点到直线的距离公式和两点的距离公式,可得, ,化简即可得到所求轨迹方程;(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),运用两点的距离公式和斜率公式,结合点A、B在椭圆C上,可得x12+x22=4,讨论①当x1=x2时,则四边形ABA1B1为矩形;②当x1≠x2时,通过三角形的面积公式和椭圆的对称性,即可得到所求面积为定值.
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