题目内容

设[x]表示不超过x的最大整数,如[
5
]=2,[π]=3,[k]=k(k∈N*).我们发现:
[
1
]+[
2
]+[
3
]=3;
[
4
]+[
5
]+[
6
]+[
7
]+[
8
]=10;
[
9
]+[
10
]+[
11
]+[
12
]+[
13
]+[
14
]+[
15
]=21;

通过合情推理,写出一般性的结论:
[
n2
]+[
n2+1
]+[
n2+2
]+…+[
(n+1)2-1
]
=n(2n+1)(n∈N*
[
n2
]+[
n2+1
]+[
n2+2
]+…+[
(n+1)2-1
]
=n(2n+1)(n∈N*
(用含n的式子表示).
分析:根据条件通过观察,可以得到一个一般性的结论 [
n2
]+[
n2+1
]+[
n2+2
]+…+[
(n+1)2-1
]
=n(2n+1)(n∈N*).
解答:解:根据[
1
]+[
2
]+[
3
]=3;
[
4
]+[
5
]+[
6
]+[
7
]+[
8
]=10;
[
9
]+[
10
]+[
11
]+[
12
]+[
13
]+[
14
]+[
15
]=21;

通过观察,发现,等式左边方括号内第一个数是完全平方数,以后依次增加1,最后一个是后一个完全平方数减1,而右边可以写成两个数的积的形式.
我们可以得到一个一般性的结论:[
n2
]+[
n2+1
]+[
n2+2
]+…+[
(n+1)2-1
]
=n(2n+1)(n∈N*).
故答案为:[
n2
]+[
n2+1
]+[
n2+2
]+…+[
(n+1)2-1
]
=n(2n+1)(n∈N*).
点评:本题主要考查的知识点是归纳推理,由特殊的列子得到一般性的结论,属于中档题.
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