题目内容
【题目】将三棱锥
与
拼接得到如图所示的多面体，其中
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，
.
（1）当点
在直线
上时，证明：
平面
；
（2）若
与
均为面积为
的等边三角形，求该多面体体积的最大值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）利用面面平行的判定定理得出平面
平面
，再由面面平行的性质得出
平面；
（2）将多面体的体积转化为三棱锥
与
的体积和，由于三棱锥
和
的底面积一定，则高同时达到最大值时，多面体的体积最大，当平面
平面
时，由面面垂直的性质得出三棱锥和的高，利用棱锥的体积公式计算即可.
（1）证明：∵
、
、
为中点
∴
，
又∵
∴
∵
平面，
平面
∴
平面
同理
平面
平面
∴平面平面
∵
，∴
平面
∴平面
（2）
易知
平面
故
连接
，当平面平面时
∵
是
的中点
∴在正三角形、
中
，
，平面与平面的交线为
平面，
平面
∴
平面，
平面
∴
平面
此时，三棱锥和的高同时达到最大值
此时
由
，
是面积为
的正三角形
可得
，
∴此时
.
故该多面体体积的最大值为.
【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市10万名男生的身高服从正态分布
.现从某学校高中男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和190cm之间，将身高的测量结果按如下方式分成5组：第1组[160,166)，第2组[166，172)，...，第5组[184，190]下表是按上述分组方法得到的频率分布表：
分组 | [160，166) | [166，172) | [172，178) | [178，184) | [184，190] |
人数 | 3 | 10 | 24 | 10 | 3 |
这50个数据的平均数和方差分别比10万个数据的平均数和方差多1和6.68，且这50个数据的方差为
.(同组中的身高数据用该组区间的中点值作代表)：
(1)求
，
；
(2)给出正态分布的数据：
，
.
(i)若从这10万名学生中随机抽取1名，求该学生身高在(169,179)的概率；
(ii)若从这10万名学生中随机抽取1万名，记
为这1万名学生中身高在(169，184)的人数，求的数学期望.
【题目】某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交
元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足
升的,按
升计算(如剩余
升,记为剩余升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为
升,则该桌的每位客人还应付
元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的
组数据
(其中
表示饮酒人数,
(升)表示饮酒量):
,
,
,
,
.
剩余酒量(单位:升) |
|
|
|
|
|
结账时的倍率 |
|
|
|
|
|
（1）求由这组数据得到的关于的回归直线方程;
（2）小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了
升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请位或位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？
参考数据:回归直线的方程是
,其中
,
.
