题目内容
【题目】将三棱锥与
拼接得到如图所示的多面体,其中
,
,
,
分别为
,
,
,
的中点,
.
(1)当点在直线
上时,证明:
平面
;
(2)若与
均为面积为
的等边三角形,求该多面体体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)利用面面平行的判定定理得出平面平面
,再由面面平行的性质得出
平面
;
(2)将多面体的体积转化为三棱锥与
的体积和,由于三棱锥
和
的底面积一定,则高同时达到最大值时,多面体的体积最大,当平面
平面
时,由面面垂直的性质得出三棱锥
和
的高,利用棱锥的体积公式计算即可.
(1)证明:∵、
、
为中点
∴,
又∵
∴
∵平面
,
平面
∴平面
同理平面
平面
∴平面平面
∵,∴
平面
∴平面
(2)
易知平面
故
连接,当平面
平面
时
∵是
的中点
∴在正三角形、
中
,
,平面
与平面
的交线为
平面
,
平面
∴平面
,
平面
∴平面
此时,三棱锥和
的高同时达到最大值
此时
由,
是面积为
的正三角形
可得
,
∴此时.
故该多面体体积的最大值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市10万名男生的身高服从正态分布.现从某学校高中男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和190cm之间,将身高的测量结果按如下方式分成5组:第1组[160,166),第2组[166,172),...,第5组[184,190]下表是按上述分组方法得到的频率分布表:
分组 | [160,166) | [166,172) | [172,178) | [178,184) | [184,190] |
人数 | 3 | 10 | 24 | 10 | 3 |
这50个数据的平均数和方差分别比10万个数据的平均数和方差多1和6.68,且这50个数据的方差为.(同组中的身高数据用该组区间的中点值作代表):
(1)求,
;
(2)给出正态分布的数据:,
.
(i)若从这10万名学生中随机抽取1名,求该学生身高在(169,179)的概率;
(ii)若从这10万名学生中随机抽取1万名,记为这1万名学生中身高在(169,184)的人数,求
的数学期望.
【题目】某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足
升的,按
升计算(如剩余
升,记为剩余
升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为
升,则该桌的每位客人还应付
元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的
组数据
(其中
表示饮酒人数,
(升)表示饮酒量):
,
,
,
,
.
剩余酒量(单位:升) |
| ||||
结账时的倍率 |
(1)求由这组数据得到的
关于
的回归直线方程;
(2)小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了
升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请
位或
位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议?
参考数据:回归直线的方程是,其中
,
.