题目内容
已知点集L={(x，y)|y=
•
}，其中
=(2x-b，1)，
=(1，b+1)，点列Pn（an，bn）在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，n∈N+．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若f(n)=
(k∈N+)，是否存在k∈N+使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：
+
+…+
＜
（n≥2，n∈N*）．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若f(n)=
|
（3）求证：
| 1 |
| |P1P2|2 |
| 1 |
| |P1P3|2 |
| 1 |
| |P1Pn|2 |
| 2 |
| 5 |
分析：（1）由y=
•
及
=(2x-b，1)，
=(1，b+1)，可得L：y=2x+1，从而得P1（0，1），则a1=0，b1=1，由等差数列通项公式可得an，代入y=2x-1可得bn；
（2）假设存在符合条件的k使命题成立，分k为偶数，k为奇数两种情况进行讨论，分别表示出f（k+11），f（k），根据方程f（k+11）=2f（k），可解得k；
（3）当n≥2时，Pn（n-1，2n-1），可得|P1Pn|=
（n-1），则
+
+…+
=
[1+
+
+…+
]，对分母进行放缩后利用裂项相消法可进行化简，根据其范围可得结论；
| m |
| n |
| m |
| n |
（2）假设存在符合条件的k使命题成立，分k为偶数，k为奇数两种情况进行讨论，分别表示出f（k+11），f（k），根据方程f（k+11）=2f（k），可解得k；
（3）当n≥2时，Pn（n-1，2n-1），可得|P1Pn|=
| 5 |
| 1 |
| |P1P2|2 |
| 1 |
| |P1P3|2 |
| 1 |
| |P1Pn|2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| (n-1)2 |
解答：解：（1）由
，得y=2x+1，
∴L：y=2x+1，∴P1（0，1），则a1=0，b1=1，
∴an=n-1（n∈N+），bn=2n-1（n∈N+）．
（2）假设存在符合条件的k使命题成立，
当k是偶数时，k+11是奇数，则f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k=4；
当k是奇数时，k+11是偶数，则f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k无解；
综上存在k=4，使得f（k+11）=2f（k）；
证明：（3）当n≥2时，Pn（n-1，2n-1），
∴|P1Pn|=
（n-1），（n≥2）
∴
+
+…+
=
[1+
+
+…+
]＜
[1+
+
+…+
]=
[1+1-
]＜
．
|
∴L：y=2x+1，∴P1（0，1），则a1=0，b1=1，
∴an=n-1（n∈N+），bn=2n-1（n∈N+）．
（2）假设存在符合条件的k使命题成立，
当k是偶数时，k+11是奇数，则f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k=4；
当k是奇数时，k+11是偶数，则f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k无解；
综上存在k=4，使得f（k+11）=2f（k）；
证明：（3）当n≥2时，Pn（n-1，2n-1），
∴|P1Pn|=
| 5 |
∴
| 1 |
| |P1P2|2 |
| 1 |
| |P1P3|2 |
| 1 |
| |P1Pn|2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| (n-1)2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| (n-2)(n-1) |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| n-1 |
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查数列与不等式、数列与向量的综合，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．
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