Question

已知点集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-1，1)，

n

=(1，2)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的公共点，等差数列{a_n}的公差为1．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=

5

n| P1Pn |

(n≥2)，c1=1，数列{c_n}的前n项和S_n满足M+n²S_n≥6n对任意的n∈N^*都成立，试求M的取值范围．

Answer 1

分析：（I）首先运用向量数量积的运算得

m

=(2x-1，1)，

n

=(1，2)得：y=

m

•

n

=2x+1，然后再根据等差通项公式得a_n=a₁+（n-1）×1=n-1，最后再根据b_n=2an+1，得b_n=2n-1
（Ⅱ）利用条件可得cn=

1

n-1

-

1

n

，从而Sn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，故有

M+n2Sn≥6n可化为M+n2(2- 1 n )≥6n， 要使M≥7n-2n2=-2(n- 7 4 )2+ 49 8 对任意n∈N*都成立，

，从而可解．

解答：解：（I）由

m

=(2x-1，1)，

n

=(1，2)得：y=

m

•

n

=2x+1
∴L：y=2x+1，P₁（0，1），即a₁=0，b₁=1，故a_n=n-1，b_n=2n-1（n∈N^*）
（Ⅱ）当n≥2时，Pn(n-1，2n-1)，

P1Pn

=(n-1，2n-2)，∴|

P1Pn

|=

5

(n-1)
故cn=

5

n| P1Pn |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

则Sn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

M+n2Sn≥6n可化为M+n2(2- 1 n )≥6n， 要使M≥7n-2n2=-2(n- 7 4 )2+ 49 8 对任意n∈N*都成立，

只须M≥6，当且仅当n=2时等号成立，即M的取值范围为M≥6

点评：本题主要考查了数列与向量的综合，考查裂项法求和，同时考查了最值法解决恒成立问题，属于中档题．