Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中直线A₁C₁与平面A₁BD夹角的余弦值是（　　）

A． 2 4

B． 2 3

C． 3 3

D． 3 2

Answer 1

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，构造三棱锥C₁-A₁DB，其体积为：
∵V=V_正方体-4V _A-A1BD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³，
设点C₁到平面A₁BD的距离是h，
又三棱锥C₁-A₁DB的体积=

1

3

×S_A1BD×h，
∴

1

3

a³=

1

3

×S_A1BD×h，
∴h=

2 3 a

3

，
设直线A₁C₁与平面A₁BD夹角为α，则sinα=

2 3 a 3

2 a

=

6

3

，
∴cosα=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
即直线A₁C₁与平面A₁BD夹角的余弦值是

3

3

．
故选C．