题目内容

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为棱BC，B1C1的中点．
（1）求证：直线A1D1∥平面ADC1．
（2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（3）设底面边长为2，侧棱长为4，求二面角C1-AD-C的余弦值．
（1）证明：连接DD1，∵点D1为棱B1C1的中点，
则DD1
∥
.
CC1
∥
.
AA1，所以四边形AA1D1D为平行四边形
∴A1D1∥AD．…（3分）
又AD?平面ADC1，A1D1?平面ADC1，
∴A1D1∥平面ADC1…（5分）
（2）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC1…（7分）
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，…（8分）
CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，CC1∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC1B1…（9分）
又∵AD?平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（10分）
（3）由（1）得AD⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，AD⊥C1D
∴∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角…（12分）
又CD=1，CC1=4，∴C1D=
17

在Rt△C1CD中，cos∠C1DC=
CD
C1D
=
1
17
=
17
17

∴二面角C1-AD-C的余弦值为
17
17
．…（14分）
练习册系列答案
相关题目
正方体ABCD-A1B1C1D1中直线A1C1与平面A1BD夹角的余弦值是（　　）
A．
2
4
B．
2
3
C．
3
3
D．
3
2
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=
π
2
，则PA与底面ABC所成角为______．
已知平面四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2
3
，∠ABC=60°．现沿对角线AC将三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）记M，N分别为AB，DB的中点．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求点B到平面CMN的距离．
如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=
2
．
（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．
已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC与BD交于点O，且∠ABC=120°，M为BC的中点．将此菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C．
（ I）求证：面AOC⊥面BCD；
（ II）若二面角A-BD-C为60°时，求直线AM与面AOC所成角的余弦值．
在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=
1
2
AB=1，将△ADC沿AC折起，使D到D′．若二面角D′-AC-B为60°，则三棱锥D′-ABC的体积为______．
二面角α-EF-β的大小为120°，A是它内部的一点AB⊥α，AC⊥β，B，C分别为垂足．
（1）求证：平面ABC⊥β；
（2）当AB=4cm，AC=6cm，求BC的长及A到EF的距离．
已知二面角α-l-β的大小为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=______．

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