Question

∫

1 -1

（1+

1-x2

）dx=

4+π

2

．

Answer 1

分析：

∫

1 -1

(1+

1-x2

)dx=

∫

1 -1

1dx

+∫

1 -1

1-x2

dx，因为第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．

解答：解：∵

∫

1 -1

(1+

1-x2

)dx=

∫

1 -1

1dx

+∫

1 -1

1-x2

dx

∫

1 -1

1-x2

dx表示的几何意义是：
以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积
的一半，∴

∫

1 -1

1-x2

dx=

1

2

×π×1²=

π

2

，
又

∫

1 -1

1dx=x

|

1 -1

=1-（-1）=2，
∴

∫

1 -1

(1+

1-x2

)dx=

∫

1 -1

1dx

+∫

1 -1

1-x2

dx=2+

π

2

=

4+π

2

，
故答案为：

4+π

2

；

点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．