Question

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）试探究数列{a_n-1}是否是等比数列；
（2）试证明

n

i=1

ai≥1+n；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项．若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意先根据（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0可以求出a_n-1为等比数列；
（2）由（1）求得的数列{a_n}通项公式求出

n

i=1

ai的表达式，再结合等比数列的求和公式及不等式的性质即可证明

i=1

ai≥1+n；
（3）根据题意先求出b_n的通项公式，然后令 u=(

3

4

)n-1，讨论b_n的单调性，分别讨论n=1，2，3，4时u的值，即可求出b_n的最大项和最小项的值．

解答：解：（1）由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0得
4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
化得：（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，
∴a_n-1=0或4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，（3分）
由已知a₁=2，∴a_n-1=0（舍去）．
∴4a_n+1-4a_n+a_n-1=0得4a_n+1=3a_n+1（4分）
从而有：a_n+1-1=

3

4

(an-1)（5分）
∴数列{a_n-1}是首项为a₁-1=1，公比为

3

4

的等比数列
∴a_n-1=(

3

4

)n-1，
∴数列{a_n}通项公式为a_n=(

3

4

)n-1+1．（6分）
（2）由（1）知

n

i=1

ai=1+

3

4

+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-1+n=4[1-(

3

4

)n]+n（8分）
∵对?n∈N^*，有 (

3

4

)n≤

3

4

，
∴1-(

3

4

)n≥1-

3

4

=

1

4

，
∴4[1-(

3

4

)n]+n≥1+n，
即

n

i=1

a1≥1+n（10分）
（3）由b_n=3f（a_n）-g（a_n+1）得b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）
∴bn=3[(

3

4

)n-1]2-4(

3

4

)n=3{[(

3

4

)n-1]2-(

3

4

)n-1}（11分）
令 u=(

3

4

)n-1，则0＜u≤1，
b_n=3（u²-u）=3[(u-

1

2

)2-

1

4

]
∵函数 bn=3[(u-

1

2

)2-

1

4

]在 [

1

2

，1]上为增函数，在 (0，

1

2

)上为减函数（12分）
当n=1时u=1，
当n=2时 u=

3

4

，
当n=3时，u=(

3

4

)2=

9

16

，
当n=4时 u=

27

64

，
∵

27

64

＜

1

2

＜

9

16

＜

3

4

＜1，且 |

1

2

-

27

64

|＞|

1

2

-

9

16

|
∴当n=3时，b_n有最小值，即数列{b_n} 有最小项，最小项为 b3=3[(

9

16

)2-

9

16

]=-

189

256

（13分）
当n=1即u=1时，b_n有最大值，即有最大项，最大项为b₁=3（1-1）=0．（14分）

点评：本题考查了数列的推导以及函数的单调性求函数的最大值和最小值，考查了学生的计算能力和对数列、函数的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．