题目内容
设函数f（x）=x-x2+alnx，此曲线在P（1，0）处的切线斜率为2．
（1）求a的值．
（2）试证明f（x）≤2x-2．
解：（1）f′（x）=1-2x+
，
由曲线在点P处的切线斜率为2，得f′（1）=2，即1-2+a=2，解得a=3，
故所求a值为3．
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），
则g（x）=x-x2+3lnx-2x+2=-x2-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+
=
=
，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
所以当x=1时g（x）取得极大值，也为最大值，g（1）=0，
所以g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-2，从而得证．
分析：（1）由题意知f′（1）=2，解出即可；
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），只需利用导数证明g（x）max≤0；
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数的最值问题，（2）问关键是构造函数，转化为求函数的最大值解决．
，由曲线在点P处的切线斜率为2，得f′（1）=2，即1-2+a=2，解得a=3，
故所求a值为3．
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），
则g（x）=x-x2+3lnx-2x+2=-x2-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+
==，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
所以当x=1时g（x）取得极大值，也为最大值，g（1）=0，
所以g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-2，从而得证．
分析：（1）由题意知f′（1）=2，解出即可；
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），只需利用导数证明g（x）max≤0；
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数的最值问题，（2）问关键是构造函数，转化为求函数的最大值解决．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
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D、[-
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